Giai thừa có tốc độ tăng nhanh hơn hàm mũ nhưng chậm hơn hàm mũ hai tầng (abc) có cùng cơ số và mũ.
log n ! = ∑ x = 1 n log x . {\displaystyle \log n!=\sum _{x=1}^{n}\log x.}
∫ 1 n log x d x ≤ ∑ x = 1 n log x ≤ ∫ 0 n log ( x + 1 ) d x {\displaystyle \int _{1}^{n}\log x\,dx\leq \sum _{x=1}^{n}\log x\leq \int _{0}^{n}\log(x+1)\,dx}
n log ( n e ) + 1 ≤ log n ! ≤ ( n + 1 ) log ( n + 1 e ) + 1. {\displaystyle n\log \left({\frac {n}{e}}\right)+1\leq \log n!\leq (n+1)\log \left({\frac {n+1}{e}}\right)+1.}
e ( n e ) n ≤ n ! ≤ e ( n + 1 e ) n + 1 . {\displaystyle e\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\leq n!\leq e\left({\frac {n+1}{e}}\right)^{n+1}.}
n ! ≈ 2 π n ( n e ) n . {\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.} (Công thức Stirling).
n ! > 2 π n ( n e ) n . {\displaystyle n!>{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}
log n ! ≈ n log n − n + log ( n ( 1 + 4 n ( 1 + 2 n ) ) ) 6 + log ( π ) 2 . {\displaystyle \log n!\approx n\log n-n+{\frac {\log(n(1+4n(1+2n)))}{6}}+{\frac {\log(\pi )}{2}}.}
